Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi , góc BAD bằng 120 độ . AB = a. hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với đáy . Góc giữa SBC và mặt phẳng đáy là 60 độ . Tính thể tích V của chóp S.ABCD

Đáp án+ Giải thích các bước giải:

 Xét hình thoi $ABCD$ có $\widehat{BAD}=120^o$

$\Rightarrow \widehat{BAC}=60^o$

$\Rightarrow ΔABC$ đều

$\Rightarrow AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Do $ΔABC$ dề và $AM$ là trung tuyến nên $AM⊥BC$

Vì $(SAB)⊥(ABCD), (SAD)⊥(ABCD)$ và $(SAB)∩(SAD)=SA$ nên $SA⊥(ABCD)$

$\Rightarrow SA⊥BC$

$\Rightarrow BC⊥(SAM)$

$\Rightarrow (SBC)⊥(SAM)$

Mặt khác: $SA⊥(ABCD)$

$\Rightarrow (SAM)⊥(ABCD)$

$\Rightarrow \widehat{((SBC),(ABCD))}=\widehat{SMA}=60^o$

Xét $ΔSAM$ vuông tại $A$ có $SA=AM.\tan{\widehat{SMA}}= \dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\tan{60^o}=\dfrac{3a}{2}$

Vậy $V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}.SA.S_{ABCD}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a}{2}.AB.AD.\sin{120^o}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a}{2}.a.a.\sin{120^o}=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{4}$