Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa cạnh SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 60º, cạnh AC = a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Đáp án:

$V_{S.ABCD}=\dfrac{a^3\sqrt[]{3}}{4}$ $(đvtt)$

Giải thích các bước giải:

Gọi $H$ là trung điểm $AB$, ta có:

Hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là $H$

Hình chiếu của $C$ lên $(ABCD)$ là $C$
→ Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCH}=60^o$

Vì $AB=BC=CA=a$ nên $ΔABC$ là tam giác đều

Vì $H$ là trung điểm $AB$ nên $CH$ là đường trung tuyến, đồng thời là đường cao của $ΔABC$

$→ CH=\dfrac{a\sqrt[]{3}}{2}$ (đường cao trong tam giác đều)

Xét ΔSHC vuông tại $H$ có:

$SH=HC.\tan\widehat{SCH}$

$=\dfrac{a\sqrt[]{3}}{2}.\tan60^o$

$=\dfrac{3a}{2}$

Vì $ΔABC$ đều nên $\widehat{ABC}=60^o$

$→ \widehat{BAD}=180^o-60^o=120^o$

Áp dụng định lí $\text{cosin}$ trong tam giác, ta có:

$BD^2=AB^2+AD^2-2AB.AD.\text{cos120^o}$

$↔ BD^2=a^2+a^2-2a^2.\Bigg(-\dfrac{1}{2}\Bigg)$

$↔ BD^2=2a^2+a^2=3a^2$

$→ BD=a\sqrt[]{3}$

Diện tích đáy là:

$S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}AC.BD$

$=\dfrac{1}{2}a.a\sqrt[]{3}$

$=\dfrac{a^2\sqrt[]{3}}{2}$ $(đvdt)$

Thể tích khối chóp là:

$V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}S_{ABCD}.SH$

$=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a^2\sqrt[]{3}}{2}.\dfrac{3a}{2}=\dfrac{a^3\sqrt[]{3}}{4}$ $(đvtt)$