Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a căn 2, AB=BC=a, AD=2a. a) Tính diện tích tam giác SCD. b) Tính thể tích khối tứ diện SBCD. c) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD).

a) Kẻ $CE\perp AD \, (E\in AD)$

$\Rightarrow ABCE$ là hình vuông

$\Rightarrow AB=BC=CE=AE=ED=a$

Dễ dàng tính được các cạnh theo Pytago:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 =2a^2$

$\Rightarrow SC^2 = SA^2 + AC^2 = 4a^2$

$CD^2 = CE^2 + ED^2 = 2a^2$

$SD^2 = SA^2 + AD^2 = 6a^2$

Dễ dàng nhận thấy $SD^2 = SC^2 + CD^2$

Do đó $ΔSCD$ vuông tại $C$

$\Rightarrow S_{SCD} = \dfrac{1}{2}SC.CD = \dfrac{1}{2}.2a.a\sqrt{2} = a^2\sqrt{2}$

b) $V_{S.BCD} = \dfrac{1}{3}.S_{BCD}.SA = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.BC.AB.SA = \dfrac{1}{6}.a.a.a\sqrt{2} = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{6}$

c) Gọi $O$ là giao điểm của $AC, \, BE$

Kẻ $OI\perp SC; \, AH\perp SC \, (H, \, I \in SC)$

$\Rightarrow OI = \dfrac{AH}{2}$ (tính chất đường trung bình)

Ta có: $AE=EC=ED=a$

$\Rightarrow ΔACD$ vuông tại $C$

$\Rightarrow AC\perp CD$

mà $SA\perp CD \, (SA\perp (ABCD))$

$\Rightarrow CD\perp (SAC)$

$\Rightarrow CD\perp OI$

mà $OI \perp SC$ (cách dựng)

$\Rightarrow OI\perp (SCD)$

$\Rightarrow OI = d(O;(SCD))$

Tương tự, $AI \perp (SCD)$

Ta lại có: $BE//CD \, (\perp AC)$

$\Rightarrow BE//(SCD)$

$\Rightarrow d(B;(SCD)) = d(E;(SCD)) = d(O;(SCD)) = OI$

Áp dụng hệ thức lượng, ta được:

$\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AC^2}$

$\Rightarrow AH = \sqrt{\dfrac{(SA.AC)^2}{SC^2}} = a$

$\Rightarrow OI = \dfrac{a}{2}$

Vậy $d(B;(SCD)) = \dfrac{a}{2}$