Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a căn 2, AB=BC=a, AD=2a. a) Tính diện tích tam giác SCD. b) Tính thể tích khối tứ diện SBCD. c) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD).

a) Kẻ $CM\perp AD$

$\Rightarrow ABCM$ là hình vuông

$\Rightarrow CD^2 = MD^2 + MC^2 = 2a^2$

$SC^2 = SA^2 + AC^2 = 4a^2$

$SD^2 = SA^2 + AD^2 = 6a^2$

Dể thấy: $SD^2 = SC^2 + CD^2$

$\Rightarrow ΔSCD$ vuông tại $C$

$\Rightarrow S_{ΔSCD} = \dfrac{SC.CD}{2} = \dfrac{\sqrt{4a^2}.\sqrt{2a^2}}{2} = a^2\sqrt{2} \, (đvdt)$

b) Ta có:

$S_{ΔBCD} = S_{ABCD} - S_{ΔABD} = \dfrac{1}{2}[(AD + BC).AB - AB.AD] = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{a^2}{2}$

$\Rightarrow V_{S.BCD} = \dfrac{1}{3}.S_{ΔBCD}.SA=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a^2}{2}.a\sqrt{2} = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{6} \, (đvtt)$

c) Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo của hình vuông $ABCM$

Kẻ $AK\perp SC; \, OH\perp SC$

Ta có:

$ΔCAD$ vuông tại $C$ $(AM = MD = MC = a)$

$\Rightarrow CD\perp AC$

mà $CD\perp SA \, (SA\perp (ABCD))$

nên $CD\perp (SAC)$

$\Rightarrow CD\perp AK$

mà $AK \perp SC$ (cách dựng)

nên $AK \perp (SCD)$

Ta lại có: $AK //OH \, (\perp SC)$

$\Rightarrow OH\perp (SCD)$

Mặt khác: $BC//AD \, (gt)$

hay $BC//MD$

mà $BC = MD = a$

$\Rightarrow BMDC$ là hình bình hành

$\Rightarrow BM//CD$

$\Rightarrow BM//(SCD)$

$\Rightarrow d(B;(SCD))=d(M;(SCD)) = d(O;(SCD))$

$\Rightarrow d(B;(SCD)) = OH$

Áp dụng hệ thức lượng, ta được:

$\dfrac{1}{AK^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AC^2}$

$\Rightarrow AK^2 = \dfrac{(SA.AC)^2}{SC^2} = \dfrac{(a\sqrt{2}.a\sqrt{2})^2}{4a^2} = a^2$

$\Rightarrow AK = a$

$\Rightarrow OH = \dfrac{AK}{2} = \dfrac{a}{2}$ ($OH$ là đường trung bình trong $ΔHAC$)

Vậy $d(B;(SCD)) = \dfrac{a}{2}$