Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AC=2a, BC=a. Đỉnh S cách đều 3 điểm A,B,C , SB tạo với đáy góc 60°. Tính thể tích hình chóp?

Đáp án:

$V_{S.ABCD} =a^3$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$S$ cách đều $A,B,C$

$\Rightarrow SA = SB = SC$

Gọi $O$ là hình chiếu của $S$ là $(ABCD)$

$\Rightarrow OA = OB = OC$

$\Rightarrow \left\{O\right\} = AC\cap BD$

$\Rightarrow OB = \dfrac{1}{2}AC = a$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$\Rightarrow AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{4a^2 - a^2} = a\sqrt3$

Mặt khác:

$SO\perp (ABCD)$
$\Rightarrow \widehat{(SB;(ABCD))} = \widehat{SBO} = 60^o$

$\Rightarrow SO = OB.\tan60^o = a\sqrt3$

Ta được:

$V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3}S_{ABCD}.SO = \dfrac{1}{3}AB.BC.SO = \dfrac{1}{3}.a\sqrt3.a.a\sqrt3 = a^3$