Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , mặt bên SAD là tam giác vuông tại S . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA= 3HD . Biết rằng SA=2a căn 3 và SC tạo với đáy một góc 30 độ. Tính thể tích khối chóp.

mk trình bày trong hình 

Đáp án: $V_{ABCD}=\dfrac{8\sqrt{2}a^3}{\sqrt{3}}$

Giải thích các bước giải:

Đặt $AD=x$ vì $HA=3HD\to HA=\dfrac34AD=\dfrac34x, HD=\dfrac14x$

Ta có $\Delta SAD$ vuông tại $S, SH\perp AD$

$\to SA^2=AH\cdot AD$ (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\to (2a\sqrt{3})^2=\dfrac34x\cdot x$

$\to x=4a$

$\to HA=3a, HD=a$

$\to SH=\sqrt{SA^2-AH^2}=\sqrt{(2a\sqrt{3})^2-(3a)^2}=a\sqrt{3}$

Mà $SH\perp ABCD$

$\to \widehat{SC, ABCD}=\widehat{SCH}$

$\to \widehat{SCH}=30^o$

$\to \tan\widehat{SCH}=\dfrac{SH}{HC}$

$\to \tan30^o=\dfrac{SH}{HC}$

$\to HC=\dfrac{SH}{\tan30^o}$

$\to HC=\dfrac{SH}{\tan30^o}$

$\to HC=3a$

$\to DC=\sqrt{HC^2-HD^2}$

$\to DC=\sqrt{(3a)^2-a^2}$

$\to DC=2a\sqrt{2}$

$\to V_{ABCD}=\dfrac13\cdot SH\cdot AD\cdot DC$

$\to V_{ABCD}=\dfrac13\cdot a\sqrt{3}\cdot 4a\cdot 2a\sqrt{2}$

$\to V_{ABCD}=\dfrac{8\sqrt{2}a^3}{\sqrt{3}}$