Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, Δ S A B đều cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Biết SC tạo với (ABCD) một góc bằng 300. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

Đáp án:

$V_{S.ABCD} = \dfrac{a^3\sqrt6}{6}$

Giải thích các bước giải:

Xét $\triangle SAB$ đều cạnh $a$

Gọi $H$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow \begin{cases}HA = HB = \dfrac12AB = \dfrac{a}{2}\\SH = \dfrac{a\sqrt3}{2}\\SH\perp AB\end{cases}$

Ta có:

$\begin{cases}(SAB)\perp (ABCD)\\(SAB)\cap (ABCD) = AB\\SH\perp AB\\SH\subset (SAB)\end{cases}$

$\Rightarrow SH\perp (ABCD)$

$\Rightarrow \widehat{(SC;(ABCD))} = \widehat{SCH} = 30^\circ$

$\Rightarrow HC = \dfrac{SH}{\tan\widehat{SCH}} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt3}{2}}{\tan30^\circ} = \dfrac{3a}{2}$

Áp dụng định lý Pytago vào $\triangle HBC$ vuông tại $B$ ta được:

$\quad HC^2 = HB^2 + BC^2$

$\Rightarrow BC = \sqrt{HC^2 - HB^2} = \sqrt{\dfrac{9a^2}{4} - \dfrac{a^2}{4}}$

$\Rightarrow BC = a\sqrt2$

Khi đó:

$\quad V_{S.ABCD} = \dfrac13S{ABCD}.SH = \dfrac13AB.BC.SH$

$\Leftrightarrow V_{S.ABCD} = \dfrac13\cdot a\cdot a\sqrt2\cdot \dfrac{a\sqrt3}{2}$

$\Leftrightarrow V_{S.ABCD} = \dfrac{a^3\sqrt6}{6}$