Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, AB = 4, AD = 4√3, các cạnh bên bằng nhau và bằng 6. Gọi M là trung điểm của OC. Tính thể tích khối chóp S.ABMD và diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.OCD?

Đáp án:

$ V_{S.ABMD} =  8\sqrt{15}$

$S = \dfrac{124\pi}{3}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$SA = SB = SC = SD=6$

$\to SO\perp (ABCD)$

$\to OA =OB =OC =OD$

$\to ABCD$ là hình chữ nhật

$\to S_{ABCD}= AB.AD = 4.4\sqrt3 = 16\sqrt3$

Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:

$+)\quad BD^2 = AB^2 + AD^2 = 16 + 48 = 64$

$\to BD = 8$

$\to OA = OB = OC = OD = \dfrac12BD = 4$

$+)\quad SA^2 = OA^2 + SO^2$

$\to SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{36 - 16} = 2\sqrt5$

$\to V_{S.ABCD} = \dfrac13S_{ABCD}.SO = \dfrac13\cdot 16\sqrt3 \cdot 2\sqrt5 = \dfrac{32\sqrt{15}}{3}$

Ta có:

$MC = \dfrac12OC$

$\to AM = \dfrac34AC$

$\to S_{ABM} = \dfrac34S_{ABC}$

$\to S_{ABM} = \dfrac38S_{ABCD}$

$\to S_{ABMD} = 2S_{ABM} =\dfrac34S_{ABCD}$

$\to V_{S.ABMD} = \dfrac34V_{ABCD} = \dfrac34\cdot \dfrac{32\sqrt{15}}{3} = 8\sqrt{15}$

Xét $ΔOCD$ có:

$OC = OD = CD = 4$

$\to ΔOCD$ đều

Gọi $G$ là trọng tâm $ΔOCD$

$\to OG = \dfrac{CD\sqrt3}{3} = \dfrac{4\sqrt3}{3}$

Từ $G$ kẻ đường thẳng $d\perp (OCD)$

$\to d$ là trục của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.OCD$

Gọi $N$ là trung điểm $SO$

$\to ON =\dfrac12SO = \sqrt5$

Trong $mp(SOG)$ kẻ đường trung trực của $SO$ tại $N$, cắt $d$ tại $I$

$\to I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.OCD$

Khi đó:

$R = IO = GN = \sqrt{ON^2 + OG^2} = \sqrt{5 + \dfrac{16}{3}}= \dfrac{\sqrt{93}}{3}$

Ta được:

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.OCD:$

$S = 4\pi R^2 = 4\pi\cdot \left(\dfrac{\sqrt{93}}{3}\right)^2 = \dfrac{124\pi}{3}$