Cho hình chóp sabcd có đáy abcd là hình bình hành mặt bên sab là tam giác đều cạnh a căn 3 ,abc là tam giác vuông tại a có cạnh ac=a ,góc giữa ad và (sab) bằng 30° thể tích khối chóp sabcd là A.a^3 B.a^3 căn 3 /6 C.a^3 căn3/2 D. a^3 căn3/4

Đáp án:

$C.\ \dfrac{a^3\sqrt3}{2}$

Giải thích các bước giải:

Áp dụng định lý $Pythagoras$ vào $\triangle ABC$ vuông tại $A$ ta được:

$\quad BC^2 = AB^2 + AC^2$

$\Rightarrow BC =\sqrt{AB^2 + AC^2} =\sqrt{3a^2 + a^2}= 2a$

$\Rightarrow AD = BC = 2a\quad (ABCD$ là hình bình hành$)$

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $D$ lên $(SAB)$

$\Rightarrow \widehat{(AD;(SAB))}=\widehat{DAH}= 30^\circ$

$\Rightarrow DH = AD.\sin30^\circ = 2a\cdot\dfrac12 = a$

Khi đó:

$V_{D.SAB}=\dfrac13DH.S_{SAB}=\dfrac13\cdot a\cdot \dfrac{\left(a\sqrt3\right)^2.\sqrt3}{4}$

$\Rightarrow V_{D.SAB}=\dfrac{a^3\sqrt3}{4}$

$\Rightarrow V_{S.ABD}=V_{D.SAB}=\dfrac{a^3\sqrt3}{4}$

$\Rightarrow V_{S.ABCD}=2V_{S.ABD}= 2\cdot\dfrac{a^3\sqrt3}{4} = \dfrac{a^3\sqrt3}{2}$