Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I là trung điểm cạnh AB. a) Tính thể tích khối chóp S.ICD b) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SIC). c) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD). Anh chị cố gắng giải cho e nhanh với tại chiều 5h e phải đi học rồi ạ. E cảm ơn anh chị nhiều.

Ta có: $ΔSAB$ đều

$IA = IB$ $(gt)$

$\Rightarrow SI\perp AB; \, SI = \dfrac{AB\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

$\begin{cases}(SAB)\cap(ABCD)=AB\\SI⊂ (SAB)\\SI\perp AB\end{cases}\Rightarrow SI\perp (ABCD)$

a) Gọi $M$ là trung điểm $CD$

⇒ $IM//BC//AD; \, IM = a$

$V_{S.ICD} = \dfrac{1}{3}.S_{ICD}.SI = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.IM.CD.SI = \dfrac{1}{6}.a.a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{12} \, (đvtt)$

b) Kẻ $DH\perp IC$

Ta có: $SI\perp (ABCD)$

$\Rightarrow SI\perp DH$

mà $DH\perp IC$ (cách dựng)

$\Rightarrow DH\perp (SIC)$

$\Rightarrow DH = d(D;(SIC))$

Ta có: $DH.IC = IM.CD = 2.S_{ICD}$

$\Rightarrow DH = \dfrac{IM.CD}{IC} = \dfrac{IM.CD}{\sqrt{BC^2 + BI^2}} = \dfrac{a^2}{\sqrt{a^2 + (\dfrac{a}{2})^2}} = \dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$

c) Kẻ $IK\perp SM$

Ta có:

$ΔSIC = ΔSID \Rightarrow SC = SD$

$\Rightarrow ΔSCD$ cân tại $S$

$\Rightarrow SM\perp CD$

mà $CD\perp SI$ $(SI \perp (ABCD))$

$\Rightarrow CD\perp (SIM)$

$\Rightarrow CD\perp IK$

mà $IK\perp SM$ (cách dựng)

$\Rightarrow IK \perp (SCD)$

$\Rightarrow IK = d(I;(SCD))$

Áp dụng hệ thức lượng, ta được:

$\dfrac{1}{IK^2} = \dfrac{1}{SI^2} + \dfrac{1}{IM^2}$

$\Rightarrow IK^2 = \dfrac{(SI.IM)^2}{SI^2 + IM^2} = \dfrac{(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.a)^2}{(\dfrac{a\sqrt{3}}{2})^2 + a^2} = \dfrac{3a^2}{7}$

$\Rightarrow IK = \sqrt{\dfrac{3a^2}{7}} = \dfrac{a\sqrt{21}}{7}$

Mặt khác: $AB//CD$

$\Rightarrow AB//(SCD)$

$\Rightarrow d(A;(SCD)) = d(B;(SCD)) = d(I;(SCD))$

Vậy $d(A;(SCD)) = \dfrac{a\sqrt{21}}{7}$