cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D Biết AD=DC=a, AB=2a,SA vuông góc với đáy và góc tạo bởi SC và mặt phẳng (SAD) bằng 30 độ Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng (SBC)

Đáp án:

$d(A;(SCB)) = a$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$SA\perp (ABCD)$

$\Rightarrow SA\perp CD$

mà $CD\perp AD$

$\Rightarrow CD\perp (SAD)$

$\Rightarrow\widehat{(SC;(SAD))} = \widehat{CSD} = 30^o$

$\Rightarrow \begin{cases}SD = \dfrac{a}{\tan30^o} = a\sqrt3\\SC = \dfrac{a}{\sin30^o} = 2a\end{cases}$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$SD^2 = SA^2 + AD^2$

$\Rightarrow SA = \sqrt{SD^2 - AD^2} = \sqrt{3a^2 - a^2} = a\sqrt2$

Kẻ $CE\perp AD$

$\Rightarrow ADCE$ là hình vuông

$\Rightarrow AC = BD = a\sqrt2$

$\Rightarrow AE = CE = DE = a$

$\Rightarrow ∆ACD$ vuông tại $C$

$\Rightarrow AC\perp CD$

mà $SA\perp CD \, (SA\perp (ABCD))$

$\Rightarrow CD\perp (SAC)$

Kẻ $AH\perp SC$

$\Rightarrow CD\perp AH$

$\Rightarrow AH\perp (SCB)$

$\Rightarrow AH = (A;(SCB))$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$SA.AC = AH.SC = 2S_{SAC}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{SA.AC}{SC} = \dfrac{a\sqrt2.a\sqrt2}{2a} = a$

Vậy $d(A;(SCB)) = a$