Cho hình chóp S.ABCD,ABCD là hình thang vuông tại A và B ,AB=BC=a,Ad=2a. SA vuông góc (ABCD),SA= 2a.M,N lần lượt là trung điểm của SA,SD a). d(AC,SB) Ai giúp mình vs
2 câu trả lời
Đáp án: $\dfrac23a$
Giải thích các bước giải:
Ta có: $\hat A=\hat B=90^o, AB=BC=a, AD=2a$
$\to \Delta ABC,\Delta ACD$ vuông cân tại $B,C$
Trên tia đối của tia $AD$ lấy điểm $E$ sao cho $AE=a$
$\to AE=BC$
Do $AD//CB\to AEBC$ là hình bình hành
$\to AC//BE$
$\to d(AC,SB)=d(AC,SBE)=d(A,SBE)$
Ta có $AE=BC=AB,\widehat{EAB}=\widehat{ABC}=90^o$
$\to \Delta AEB$ vuông cân tại $A$
Kẻ $AF\perp BE\to F$ là trung điểm $BE$
$\to AF=\dfrac12BE=\dfrac12AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Kẻ $AH\perp SF$
Vì $SA\perp ABCD\to SA\perp EB$
Mà $AF\perp BE\to BE\perp SAF$
$\to BE\perp AH$
$\to AH\perp SBE$
$\to d(A,SBE)=AH$
Xét $\Delta SAF$ vuông tịa $A, AH\perp SF$
$\to \dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AS^2}+\dfrac{1}{AF^2}$
$\to \dfrac{1}{AH^2}=\dfrac9{4a^2}$
$\to AH=\dfrac23a$
$\to d(AC,SB)=\dfrac23a$
Từ $B$ kẻ $BE//AC, E∈AD$
Kẻ $AK⊥EB, AF⊥SK$
$→ d(AC,SB)$
$=d(AC,(SBE))$
$=d(A,(SBE))$
$=AF$
Vì $EBCA$ là hình bình hành nên
$EA=BC=a$
$→ AK=\dfrac{AE.AB}{\sqrt[]{AE^2+AB^2}}$
$=\dfrac{a.a}{\sqrt[]{a^2+a^2}}$
$=\dfrac{a\sqrt[]{2}}{2}$
Vậy $d(AC,SB)$ là:
$\dfrac{SA.AK}{\sqrt[]{SA^2+AK^2}}$
$=\dfrac{2a}{3}$