cho hình chóp S.ABC là tam giác vuông tại B, AB=BC= a√3 , góc SAB = góc SBC = 90 độ và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng a√2 .Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a

Gọi $M$ là trung điểm $SC$.

Tam giác $SBC$ vuông tại $B$ nên $MB = MS = MC$.

Ta có: $CB \bot BA,CB \bot BS \Rightarrow CB \bot \left( {SAB} \right)$$\Rightarrow CB \bot SA$

Mà $SA \bot AB \Rightarrow SA \bot \left( {ABC} \right)$ $\Rightarrow SA \bot AC \Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại $A$.

Suy ra $MA = MS = MC$.

Do đó $M$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $SB$.

Do $BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH$ hay $\Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = a\sqrt 2$

Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ nên $\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}}$ $\Rightarrow \frac{1}{{2{a^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}} \Rightarrow SA = a\sqrt 6$

Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ nên

$SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {S{A^2} + A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {6{a^2} + 3{a^2} + 3{a^2}} = 2a\sqrt 3$

Vậy bán kính $R = \frac{{SC}}{2} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3$