cho hình chóp SABC đáy là tam giác vuông tại A, AB=a,AC=a căn 3, mặt bên (SBC) tạo với đáy 1 góc là alpha sao cho tan alpha=2/ căn 3. có SA vuông góc với đáy. Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là V. Tính V

Đáp án:

$V = \dfrac{5\pi a^3\sqrt5}{6}$

Giải thích các bước giải:

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$\quad BC^2 = AB^2 + AC^2$

$\Rightarrow BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + 3a^2}$

$\Rightarrow BC = 2a$

Bán kinh đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$ vuông tại $A:$

$r = \dfrac12BC = a$

Từ $A$ kẻ đường cao $AH$, ta được:

$\quad AH.BC = AB.AC = 2S_{ABC}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{AB.AC}{BC} = \dfrac{a.a\sqrt3}{2a}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

Ta có:

$\begin{cases}AH\perp BC\quad \text{(cách dựng)}\\SA\perp BC\quad (SA\perp (ABC))\end{cases}$

$\Rightarrow BC\perp (SAH)$

$\Rightarrow BC\perp SH$

Khi đó:

$\begin{cases}(SBC)\cap (ABC) = BC\\SH\perp BC\quad (cmt)\\SH\subset (SBC)\\AH\perp BC\quad \text{(cách dựng)}\\AH\subset (ABC)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((SBC);(ABC))} = \widehat{SHA} = \alpha$

$\Rightarrow \tan\alpha = \dfrac{SA}{AH}$

$\Rightarrow SA = AH.\tan\alpha = \dfrac{a\sqrt3}{2}\cdot \dfrac{2}{\sqrt3}$

$\Rightarrow SA = h = a$

Bán kinh mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC:$

$R = \sqrt{r^2 + \dfrac{h^2}{4}} = \sqrt{a^2 + \dfrac{a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt5}{2}$

Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC:$

$V = \dfrac43\pi R^3 = \dfrac43\cdot \pi\cdot \left(\dfrac{a\sqrt5}{2}\right)^3 = \dfrac{5\pi a^3\sqrt5}{6}$

Đáp án:
$V = \frac{5\pi a^3\sqrt5}{6}$

Giải thích các bước giải:

Áp dụng định lý Pythagoras ta trong Δ ABC ⊥ A ta có:

$\quad BC^2 = AB^2 + AC^2\\⇒BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + 3a^2}=2a$

Theo đề bài ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC ⊥ A là:

$⇒r = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}2a=a$
Kể đường cao Ah trong Δ ABC, ta có:
$ AH.BC = AB.AC = 2S_{ABC}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{AB.AC}{BC} = \dfrac{a.a\sqrt3}{2a}$
$\Rightarrow AH = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

Theo đề bài ta có:

BC⊥(SAH)

⇒BC⊥SH

Như vậy ta có:

$\begin{cases}(SBC)\cap (ABC) = BC\\SH\perp BC\quad \\SH\subset (SBC)\\AH\perp BC\quad \\AH\subset (ABC)\end{cases}$

$⇒ \widehat{((SBC);(ABC))} = \widehat{SHA} = \alpha$
$⇒ \tan\alpha = \dfrac{SA}{AH}$
$⇒ SA = AH.\tan\alpha = \dfrac{a\sqrt3}{2}\cdot \dfrac{2}{\sqrt3}$
$⇒ SA = h = a$

Như vậy:

$R = \sqrt{r^2 + \dfrac{h^2}{4}} = \sqrt{a^2 + \dfrac{a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt5}{2}$

$⇒V = \dfrac43\pi R^3 = \dfrac43\cdot \pi\cdot \left(\dfrac{a\sqrt5}{2}\right)^3 = \dfrac{5\pi a^3\sqrt5}{6}$

#X