Cho hình chóp SABC cóSA,SB,SC đôi một vuông góc với nhau và SA=6,SB=4,SC=5 Gọi M,N lần lượt là trung điểm củaAB,AC . Tính thể tích khối chóp SMBCN A. 30 B.5 C.15 D.45

Giải thích các bước giải:

Khoảng cách từ $S$ đến (ABC) là :
$\dfrac{1}{d^2(S,ABC)}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{SB^2}+\dfrac{1}{SC^2}=\dfrac{469}{3600}$ 

$\to d(S,ABC)=\dfrac{60}{\sqrt{469}}$

Ta có : $AB=\sqrt{SA^2+SB^2}=\sqrt{52}, BC=\sqrt{SB^2+SC^2}=\sqrt{41}, CA=\sqrt{SA^2+SC^2}=\sqrt{61}$

$\to S_{ABC}=\sqrt{469}$ tính theo công thức herong

$\to V_{SABC}=\dfrac 13.d(S,ABC).S_{ABC}=20$

Mà $M,N$ là trung điểm AB,AC

$\to S_{AMN}=\dfrac 14S_{ABC}\to S_{MNCB}=\dfrac 34S_{ABC}\to V_{SMBCN}=\dfrac 34V_{SABC}=15$

$\to C$

Đáp án:

C

Giải thích các bước giải:

Áp dụng định lý Pitago vào các tam giác vuông $\Delta SAB,\Delta SAC,\Delta SBC$ ta có:

$AB=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}$, $AC=\sqrt{61}$, $BC=\sqrt{41}$

Theo công thức Hê-rông: $S{\Delta}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (p là nửa chu vi của tam giác, a, b, c là các cạnh của $\Delta$)

$S_{ABC}=\sqrt{469}$

Sử dụng công thức $S_{\Delta}=\dfrac{ab\sin \alpha}{2}$ (a, b là hai cạnh của tam giác, $\alpha$ là góc xen giữa)

$ \dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\dfrac{\dfrac{AM.AN\sin\widehat A}{2}}{\dfrac{AB.AC\sin\widehat A}{2}}=\dfrac{AM}{AB}\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow \dfrac{S_{MBCN}}{S_{ABC}}=\dfrac{3}{4}$

$S_{SABC}=\dfrac{1}{3}SA.S_{\Delta SBC}=\dfrac{1}{3}6.\dfrac{1}{2}.4.5=20$

Ta có: $\dfrac{V_{SMBCN}}{V_{SABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}d(A,(ABC)).S_{ABC}}{\dfrac{1}{3}d(A,(ABC)).S_{MBCN}}=\dfrac{3}{4}$

$\Rightarrow S_{MBCN}=\dfrac{3}{4}V_{SABC}=15$