Cho hình chóp S.ABC có tất cả các cạnh bằng a . Mặt phẳng (P) song song với mặt đáy ( ABC) và cắt các cạnh bên SA, SB, SC lần lượt tại M, N, P. Tính diện tích tam giác MNP biết mặt phẳng (P) chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.

Đáp án:

$S_{MNP}=\dfrac{\sqrt3a^2}{\sqrt[3]4.4}$

Lời giải:

Ta có: $\dfrac{V_{SMNP}}{V_{SABC}}=\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SN}{SB}.\dfrac{SP}{SC}=\dfrac12$ (1)

Mà $(MNP)//(ABC)$

$\Rightarrow\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{SN}{SB}=\dfrac{SP}{SC}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{SN}{SB}=\dfrac{SP}{SC}=\dfrac{1}{\sqrt[3]2}$

$=\dfrac{MN}{AB}=\dfrac{NP}{BC}=\dfrac{MP}{AC}$

$\Rightarrow \dfrac{S_{MNP}}{S_{ABC}}=\left({\dfrac1{\sqrt[3]2}}\right)^2=\dfrac1{\sqrt[3]4}$

(do tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số cạnh)

Hay $S_{MNP}=\dfrac1{\sqrt[3]4}.\dfrac{\sqrt3}4a^2=\dfrac{\sqrt3a^2}{\sqrt[3]4.4}$ (do tam giác ABC đều).