cho hình chóp SABC có tam giác SAB nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABC), tam giác ABC vuông tại C có AC=a, góc ABC=30 độ. Mặt bên (SAC) và (SBC) cùng tạo với đáy góc bằng nhau và bằng 60 độ. Thể tích của khối chóp SABC là

Đáp án: $V_{SABC}=\dfrac{a^3}{2\sqrt3+2}$

Giải thích các bước giải:

$\Delta SAB$ dựng $SH\bot AB\Rightarrow SH\bot (ABC)$

Dựng $HI\bot AB$

$\widehat{((SAC),(ABC))}=\widehat{(SI,IH)}=\widehat{SIH}=60^o$

$\Delta SIH$ có $\tan\widehat{SIH}=\dfrac{SH}{HI}$ (1)

Dựng $HJ\bot BC$

$\Rightarrow \widehat{(SBC),(ABC)}=\widehat{(SJ,JH)}=\widehat{SJH}=60^o$

$\Delta SJH$ có $\tan\widehat{SJH}=\dfrac{SH}{HJ}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $HI=HJ(=\dfrac{SH}{\tan60^o})$

$\Rightarrow IHJC$ là hình chữ nhật có $\widehat C=\widehat I=\widehat J=90^o$ có thêm $HI=HJ$

$\Rightarrow IHJC$ là hình vuông.

$\Delta ABC$ có $\tan\widehat{ABC}=\dfrac{AC}{BC}\Rightarrow BC=\dfrac{a}{\tan30^o}=a\sqrt3$

Ta có $IH\parallel CB$ (vì cùng $\bot AC$) theo định lý Ta-lét ta có:

$\dfrac{AI}{AC}=\dfrac{IH}{CB}$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

$\dfrac{AI}{AC}=\dfrac{IH}{CB}=\dfrac{AI+IH}{AC+BC}=\dfrac{AI+IC}{AB+BC}=\dfrac{a}{a+a\sqrt3}=\dfrac{1}{1+\sqrt3}$ (do $IH=IC$)

$\Rightarrow AI=\dfrac{a}{1+\sqrt3}$

$\Rightarrow IC=a-\dfrac{a}{1+\sqrt3}=\dfrac{a\sqrt3}{1+\sqrt3}$

$\Rightarrow SH=HI\tan60^o=\dfrac{3a}{1+\sqrt3}$

$\Rightarrow V_{SABC}=\dfrac{1}{3}SH.S_{ABC}=\dfrac{1}{3}\dfrac{3a}{1+\sqrt3}.\dfrac{1}{2}a.a\sqrt3=\dfrac{a^3\sqrt3}{2(1+\sqrt3)}$

Đáp án:

Giải thích các bước giải: