cho hinh chóp S.ABC có tam giác đều cạnh 2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng đáy bằng 60 độ. diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng?

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow AM\perp BC$

Do $AB = AC; \, SA \, \, chung$

nên $SB = SC$

$\Rightarrow SM\perp BC$

Ta có:

$\begin{cases}(SBC)\cap(ABC)=BC\\SM\subset (SBC)\\SM\perp BC\\AM\subset(ABC)\\AM\perp BC \end{cases} \, \Rightarrow \widehat{((SBC);(ABC))} = \widehat{SMA} = 60^o$

$\Rightarrow SA = AM.\tan60^o = BM.\tan60^o.\tan60^o = \dfrac{AB}{2}.\tan^260^o = 3a$

Gọi $O$ là tâm của $ΔABC$

$\Rightarrow OA = OB = OC = \dfrac{2}{3}AB.\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$

Từ $O$ kẻ đường thẳng $d \perp (ABC)$

$\Rightarrow d$ là trục của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Gọi $N$ là trung điểm $SA$

Từ $N$ kẻ đường trung trực của $SA$ cắt $d$ tại $I$

$\Rightarrow I$ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

$\Rightarrow R = IA = IB = IC = IS$

Ta có: $IO\perp (ABC)$

$\Rightarrow IO\perp OA$

$\Rightarrow IA^2 = IO^2 + OA^2 = \left(\dfrac{SA}{2}\right)^2 + OA^2 = \left(\dfrac{3a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \dfrac{43a^2}{12}$

$\Rightarrow S_{\text{mặt cầu}} = 4\pi.IA^2 = 4\pi.\dfrac{43a^2}{12} = \dfrac{43a^2}{3} \, (đvdt)$

$\\$

Bài toán về mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Trường hợp cạnh bên có độ dài $h$ vuông góc với mặt đáy có bán kính $r$:

Ta có công thức tính nhanh bán kính $R$ của mặt cầu:

$R = \sqrt{r^2 + \dfrac{h^2}{4}}$

Áp dụng bài toán trên: Với $SA = h = 3a; \, r = OA = \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow R^2 = \left(\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\right)^2 + \dfrac{(3a)^2}{4} = \dfrac{43a^2}{12}$