Cho hình chóp SABC có tam giác ABC vuông cân tại B SA vuông ABC; SC= 2a; góc giữa SC và mặt phẳng( SAB) bằng 60 độ.a, Tính thể tích SABC b,tính d(A,(SBC))

Ta có:

$SA\perp (ABC)$

$\Rightarrow \widehat{(SC;(ABC))}=\widehat{SCA}=60^o$

$\Rightarrow \begin{cases}SA = SC.\sin60^o = a\sqrt3\\AC = SC.\cos60^o = a\end{cases}$

$\Rightarrow AB = BC = \dfrac{\sqrt2}{2}$

$\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB^2 = \dfrac{a}{4}$

Ta được:

$V_{S.ABC}=\dfrac{1}{3}S_{ABC}.SA =\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a}{4}\cdot a\sqrt3 = \dfrac{a^3\sqrt3}{12}$

Ta có:

$SA\perp (ABC)$

$\Rightarrow SA\perp BC$

mà $BC\perp AB$

$\Rightarrow BC\perp (SAB)$

$\Rightarrow BC\perp SC$

$\Rightarrow S_{SBC}=\dfrac{1}{2}SB.BC$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$SB^2 = SA^2 + AB^2 = 3a^2 + \dfrac{a^2}{2}=\dfrac{7a^2}{2}$

$\Rightarrow SB =\dfrac{a\sqrt{14}}{2}$

$\Rightarrow S_{SBC}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{a\sqrt{14}}{2}\cdot \dfrac{a\sqrt2}{2}=\dfrac{a^2\sqrt7}{2}$

Mặt khác:

$V_{S.ABC}=V_{A.SBC}=\dfrac{1}{3}S_{SBC}.d(A;(SBC))$

$\Rightarrow d(A;(SBC))=\dfrac{3V_{S.ABC}}{S_{SBC}}=\dfrac{3\cdot \dfrac{a^3\sqrt3}{12}}{\dfrac{a^2\sqrt7}{2}} = \dfrac{a\sqrt{21}}{14}$