Cho hình chóp S.ABC có SA = x; BC = y; AB = AC = SB = SC = 1. Thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất khi x + y = ?

Đáp án:

\(x + y = \dfrac{4}{{\sqrt 3 }}\).

Giải thích các bước giải:

Gọi H là trung điểm của BC.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SH \bot BC\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{V_{S.ABC}} = {V_{B.AHS}} + {V_{C.AHS}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{3}{S_{AHS}}\left( {HB + HC} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{3}{S_{AHS}}.BC\end{array}\)

Có: \(AH = SH = \sqrt {1 - \dfrac{{{y^2}}}{4}}  = \dfrac{{\sqrt {4 - {y^2}} }}{2}\)

\( \Rightarrow HE = \sqrt {A{H^2} - A{E^2}}  = \sqrt {1 - \dfrac{{{y^2}}}{4} - \dfrac{{{x^2}}}{4}}  = \dfrac{{\sqrt {4 - {x^2} - {y^2}} }}{2}\)

\( \Rightarrow {S_{AHS}} = \dfrac{{\sqrt {4 - {x^2} - {y^2}} }}{2}.\dfrac{x}{2}\)

\( \Rightarrow V = \dfrac{1}{{12}}xy\sqrt {4 - {x^2} - {y^2}} \)

Áp dụng BĐT Cô-si \(abc \le {\left( {\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}} \right)^{\frac{3}{2}}}\)

\( \Rightarrow xy\sqrt {4 - {x^2} - {y^2}}  \le {\left( {\dfrac{{{x^2} + {y^2} + 4 - {x^2} - {y^2}}}{3}} \right)^{\frac{3}{2}}} = {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{\frac{3}{2}}}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {x^2} = {y^2} = 4 - {x^2} - {y^2}\)

\( \Leftrightarrow x = y = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\).

Vậy \(x + y = \dfrac{4}{{\sqrt 3 }}\).