Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a    , ABS   60 , BSC    90 , CSA    120 . Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng  ABC.

Đáp án:

$\widehat{(SB;(ABC))} = 30^\circ$ 

Giải thích các bước giải:

Xét $\triangle SAB$ có:

$SA = SB = a$

$\widehat{ABS} = 60^\circ$

$\Rightarrow \triangle SAB$ đều cạnh $a$

$\Rightarrow AB = a$

Xét $\triangle SBC$ có:

$SB = SC = a$

$\widehat{BSC} = 90^\circ$

$\Rightarrow \triangle SBC$ vuông cân tại $S$

$\Rightarrow BC = SB\sqrt2 = a\sqrt2$

Xét $\triangle SAC$ có:

$SA = SC = a$

$\widehat{CSA} = 120^\circ$

Ta được:

$AC^2 = SA^2 + SC^2 - 2SA.SC.\cos\widehat{CSA}$

$\Leftrightarrow AC^2 = a^2 + a^2 - 2.a.a.\cos120^\circ$ (định lý $\cos$)

$\Leftrightarrow AC^2 = 3a^2$

Nhận thấy:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

Do đó: $\triangle ABC$ vuông tại $B$

Gọi $H$ là trung điểm $AC$

$\Rightarrow HA = HB = HC = \dfrac12AC = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

Ta lại có: $SA = SB = SC = a$

$\Rightarrow SH\perp (ABC)$

$\Rightarrow \widehat{(SB;(ABC))} = \widehat{SBH}$

Xét $\triangle SBH$ vuông tại $H$ có:

$\cos\widehat{SBH} = \dfrac{HB}{SB} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt3}{2}}{a} = \dfrac{\sqrt3}{2}$

$\Rightarrow \widehat{SBH} = 30^\circ$

Vậy $\widehat{(SB;(ABC))} = 30^\circ$