Cho hình chóp SABC có M,N,P lần lượt là trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCA. Tính V S.MNP/ V S.ABC

Đáp án:

 $\dfrac{2}{27}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $D,E,F$ lần lượt là trung điểm $AB, BC, CA$

Ta có: $\dfrac{SM}{SD} = \dfrac{SN}{SE} = \dfrac{2}{3}$ (tính chất trọng tâm)

$\Rightarrow MN//DE$

Chứng minh tương tự, ta được: $MP//DF$

$\Rightarrow (MNP)//(ABCD)$

$\Rightarrow \dfrac{d(S;(MNP))}{d(S;(ABC))} = \dfrac{2}{3}$

Do $MN//DE$

nên $\dfrac{MN}{DE} = \dfrac{SM}{SD} = \dfrac{2}{3}$

$\Rightarrow MN= \dfrac{2}{3}DE$

mà $DE=\dfrac{1}{2}AC$ (tính chất đường trung bình)

nên $MN = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{3}AC$

$\Rightarrow \dfrac{S_{MNP}}{S_{ABC}} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$

Ta được:

$\dfrac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{S_{MNP}.d(S;(MNP))}{S_{ABC}.d(S;(ABC))} = \dfrac{1}{9}\cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{27}$