Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại đỉnh A, SA = SB = SC. Có AB = a√5, AC = 2a và tam giác SAB là tam giác đều. Thể tích khối chóp S.ABC là?

Đáp án:

$V_{S.ABC}=\dfrac{a^3\sqrt{55}}{6}$

Giải thích các bước giải:

Áp dụng định lý Pytago vào $\triangle ABC$ vuông tại $A$ ta được:

$\quad BC^2 = AB^2 + AC^2$

$\Rightarrow BC =\sqrt{AB^2 + AC^2}=\sqrt{5a^2 + 4a^2}$

$\Rightarrow BC= 3a$

Ta có: $\triangle SAB$ đều

$\Rightarrow SA = AB = a\sqrt5$

Gọi $H$ là trung điểm cạnh huyền $BC$

$\Rightarrow HA = HB = HC =\dfrac12BC =\dfrac{3a}{2}$

Lại có: $SA = SB = SC$

$\Rightarrow SH \perp (ABC)$

Áp dụng định lý Pytago vào $\triangle SAH$ vuông tại $H$ ta được:

$\quad SA^2 = SH^2 + HA^2$

$\Rightarrow SH =\sqrt{SA^2 - HA^2}=\sqrt{5a^2 - \dfrac{9a^2}{4}}$

$\Rightarrow SH = \dfrac{a\sqrt{11}}{2}$

Khi đó:

$\quad V_{S.ABC}=\dfrac13S_{ABC}.SH$

$\Leftrightarrow V_{S.ABC}=\dfrac16AB.AC.SH$

$\Leftrightarrow V_{S.ABC}=\dfrac16\cdot a\sqrt5\cdot 2a\cdot \dfrac{a\sqrt{11}}{2}$

$\Leftrightarrow V_{S.ABC}=\dfrac{a^3\sqrt{55}}{6}$