Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB=a, BC=2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (SAG) tạo với đáy một góc 60 độ. Tính thể tích khối tứ diện SABC

Đáp án:

$ V_{S.ABC} = \dfrac{a^3\sqrt6}{12}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $H$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow HA = HB = \dfrac12AB = \dfrac{a}{2}$

Ta có: $\triangle SAB$ cân tại $S$

$\Rightarrow SH \perp AB$

Khi đó:

$\begin{cases}(SAB)\perp (ABC)\quad (gt)\\(SAB)\cap (ABC) = AB\\SH\perp AB\quad (cmt)\\SH\subset (SAB)\end{cases}$

$\Rightarrow SH\perp (ABC)$

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow MB = MC = \dfrac12BC = a$

Do đó:

$G = AM\cap CH$

$\widehat{((SAG);(ABC))} = \widehat{((SAM);(ABC))} = 60^\circ$

Từ $H$ kẻ $HK\perp AM$

Ta được:

$\begin{cases}HK\perp AM\quad \text{(cách dựng)}\\SH\perp AM\quad (SH\perp (ABC))\end{cases}$

$\Rightarrow AM\perp (SHK)$

$\Rightarrow AM\perp SK$

Khi đó:

$\begin{cases}(SAM)\cap (ABC) = AM\\HK\perp AM \quad \text{(cách dựng)}\\HK\subset (ABC)\\SK\perp AM\quad (cmt)\\SK\subset (SAM)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((SAM);(ABC))}= \widehat{SKH} = 60^\circ$

$\Rightarrow SH = HK.\tan60^\circ = HK\sqrt3$

Xét $\triangle AHK$ và $\triangle AMB$ có:

$\begin{cases}\widehat{A}:\ \text{góc chung}\\\widehat{K} = \widehat{B} = 90^\circ\end{cases}$

Do đó: $\triangle AHK\backsim \triangle AMB\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{HK}{MB} = \dfrac{AH}{AM}$

$\Rightarrow HK = \dfrac{AH}{AM}\cdot MB = \dfrac{AH}{\sqrt{AB^2 + MB^2}}\cdot MB$

$\Rightarrow HK = \dfrac{\dfrac{a}{2}}{\sqrt{a^2 + a^2}}\cdot a = \dfrac{a}{2\sqrt2}$

$\Rightarrow SH = \dfrac{a\sqrt3}{2\sqrt2}$

Ta được:

$V_{S.ABC} = \dfrac13S_{ABC}.SH = \dfrac16AB.BC.SH$

$\Rightarrow V_{S.ABC} = \dfrac16\cdot a\cdot 2a\cdot \dfrac{a\sqrt3}{2\sqrt2} = \dfrac{a^3\sqrt6}{12}$