cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều , AB =a. Lấy điểm H thuộc AB sao cho HA = 2HB ; SH vuông với mặt đáy (ABC) , góc tạo bởi giữa đường thẳng SC và (ABC) bằng 60 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC?

Đáp án:

$V_{S.ABC} = \dfrac{a^3\sqrt7}{12}$

Giải thích các bước giải:

Ta có: $∆ABC$ đều cạnh $a$

$\Rightarrow AB = a;\, \widehat{B} = 60^o$

Ta cũng có: $HA = 2HB$

$\Rightarrow HB = \dfrac{1}{3}AB = \dfrac{a}{3}$

Áp dụng định lý $\cos$ ta được:

$HC^2 = HB^2 + BC^2 - 2HB.BC\cos\widehat{B}$

$\Leftrightarrow HC^2 = \dfrac{a^2}{9} + a^2 - 2.\dfrac{a}{3}.a.\cos60^o = \dfrac{7a^2}{9}$

$\Rightarrow HC = \dfrac{a\sqrt7}{3}$

Ta có: $SH\perp (ABC)$

$\Rightarrow SH\perp HC; \, \widehat{(SC;(ABC))} = \widehat{SCH} = 60^o$

$\Rightarrow SH = HC\tan\widehat{SCH} = \dfrac{a\sqrt7}{3}.\tan60^o = \dfrac{a\sqrt{21}}{3}$

Do đó ta được:

$V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3}S_{ABC}.SH = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{a\sqrt{21}}{3} = \dfrac{a^3\sqrt7}{12} \, (đvtt)$