Cho hình chóp S.ABC có đáy là hình vuông cạnh a2, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a3. Góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD) bằng bao nhiêu độ?

Đáp án:

$\widehat{((SBD);(ABCD))}=60^\circ$

Giải thích các bước giải:

Gọi $O$ là tâm của đáy.

$\Rightarrow OA = OB = OC = OD = \dfrac{AB\sqrt2}{2}= a$

Ta có: $∆SAB= ∆SAD\ (c.c.c)$

$\Rightarrow SA = SD$

$\Rightarrow ∆SAD$ cân tại $O$

Lại có: $OB = OD =\dfrac12BD$

nên $SO\perp BD$

Khi đó:

$\begin{cases}(SBD)\cap (ABCD)=BD\\SO\perp BD\quad (cmt)\\SO\subset (SBD)\\AC\perp BD\\AC\subset (ABCD)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((SBD);(ABCD))}=\widehat{(SO;AC)}=\widehat{SOA}$

Xét $∆SOA$ vuông tại $A$ có:

$\tan\widehat{SOA}=\dfrac{SA}{OA}=\dfrac{a\sqrt3}{a}=\sqrt3$

$\Rightarrow \widehat{SOA}= 60^\circ$

Vậy $\widehat{((SBD);(ABCD))}=60^\circ$