cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SA=AB=2. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S.AHK

Đáp án:

$V_{\max} = \dfrac{\sqrt2}{6}$ 

Giải thích các bước giải:

Đặt $AC = x\quad (0 < x < 2)$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$+)\quad SB^2 = SA^2 + AB^2 = 2^2 + 2^2 = 8$

$+)\quad SC^2 = SA^2 + AC^2 = 2^2 + x^2 = 4 + x^2$

$+)\quad AB^2 = AC^2 + BC^2 \Rightarrow BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{4 - x^2}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$+)\quad SA^2 = SH.SB \Rightarrow \dfrac{SH}{SB} = \dfrac{SA^2}{SB^2}$

$+)\quad SA^2 = SK.SC \Rightarrow \dfrac{SK}{SC} = \dfrac{SA^2}{SC^2}$

Áp dụng tỉ số thể tích hình chóp tam giác, ta được:

$\quad \dfrac{V_{S.AHK}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{SH}{SB}\cdot \dfrac{SK}{SC}$

$\Leftrightarrow V_{S.AHK} = \dfrac{SH}{SB}\cdot \dfrac{SK}{SC}\cdot V_{S.ABC}$

$\Leftrightarrow V_{S.AHK} = \dfrac{SA^2}{SB^2}\cdot \dfrac{SA^2}{SC^2}\cdot \dfrac16\cdot AC\cdot BC\cdot SA$

$\Leftrightarrow V_{S.AHK} = \dfrac{4}{8}\cdot \dfrac{4}{4 + x^2}\cdot \dfrac{1}{6}\cdot x\sqrt{4 - x^2}\cdot 2$

$\Leftrightarrow V_{S.AHK} = \dfrac{2x\sqrt{4 - x^2}}{3(4 + x^2)}$

Đặt $V_{S.AHK} = f(x) = \dfrac{2x\sqrt{4 - x^2}}{3(4 + x^2)}$

$\Rightarrow f'(x) = - \dfrac{8(3x^2 - 4)}{3\sqrt{4 - x^2}(4 + x^2)^2}$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{2\sqrt3}{3}$

Bảng biến thiên trên $(0;2)$:

$\begin{array}{|c|cr|}
\hline
x &  0&&&\dfrac{2\sqrt3}{3}&&&2\\
\hline
f'(x) &   & + & &0\quad& - &&\\
\hline
&&&&\dfrac{\sqrt2}{6}\\
f(x) & &\nearrow& &&\searrow\\
\\
\hline
\end{array}$

Vậy $V_{\max} = \dfrac{\sqrt2}{6} \Leftrightarrow AC = \dfrac{2\sqrt3}{3}$