Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B SA vuông góc (ABC) AB =a Biết góc giữa AC và (SBC) =30° Thể tích khối chóp S.ABC =?

Đáp án: $\dfrac{a^3}{6}$

Đáp án:

$V_{SABC} =\dfrac{a^3}{6}$

Giải thích các bước giải:

$\triangle ABC$ vuông cân tại $B$ có:

$AB = a\Rightarrow AC = a\sqrt2$

Ta có:

$\begin{cases}BC\perp AB\quad (gt)\\SA\perp BC\quad (SA\perp (ABC))\end{cases}$

$\Rightarrow BC\perp (SAB)$

Trong $mp(SAB)$ kẻ $AH\perp SB$

$\Rightarrow BC\perp AH$

$\Rightarrow AH\perp (SBC)$

$\Rightarrow \widehat{(AC;(SBC))}=\widehat{HCA}= 30^\circ$

$\Rightarrow AH = AC.\sin30^\circ = \dfrac{a\sqrt2}{2}$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle SAB$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:

$\quad \dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2} +\dfrac{1}{SA^2}$

$\Rightarrow SA =\dfrac{AB.AH}{\sqrt{AB^2 - AH^2}}=\dfrac{a\cdot \dfrac{a\sqrt2}{2}}{\sqrt{a^2 - \dfrac{a^2}{2}}}= a$

Khi đó:

$V_{SABC}=\dfrac16AB.BC.SA =\dfrac{a^3}{6}$