Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA =AB= a   . Gọi N là trung điểm SD , đường thẳng AN hợp với đáy  ABCD một góc 30 độ . Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD . .

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Đáp án: $V_{ABCD}=\dfrac{a^3}{\sqrt3}$

Giải thích các bước giải:

$\Delta SAD$ dựng $NH\bot AD$

Ta có: $N$ là trung điểm của $SD$

và $NH\parallel SA(\bot AD)$

$\Rightarrow NH$ là đường trung bình $\Delta SAD$

$\Rightarrow NH=\dfrac{1}{2}SA=\dfrac{a}{2}$

và $H$ là trung điểm cạnh $AD$

$\Rightarrow AD=2AH$

Ta có: $\widehat{(AN,(ABCD))}=\widehat{(AN,AH)}=\widehat{NAH}=30^o$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta$ vuông $ANH$

$\tan\widehat{NAH}=\dfrac{NH}{AH}$

$\Rightarrow AH=\dfrac{NH}{\tan\widehat{NAH}}=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{\tan 30^o}=\dfrac{a\sqrt3}{2}$

$\Rightarrow AD=2AH=a\sqrt3$

$\Rightarrow V_{SABCD}=\dfrac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\dfrac{1}{3}SA.AB.AD$

$=\dfrac{1}{3}a.a.a\sqrt3=\dfrac{a^3}{\sqrt3}$