Cho hình chóp có đáy ABCD là hình thang vuông tại B và C, CD = 2AB, AD = a, góc ADC = 30 độ, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) bằng A. (căn 57 x a)/19 B. (2 căn 57 x a)/19 C. ( 4 căn 57 x a)/19 D. a căn 3

Đáp án:

 $d(D,(SBC))=\dfrac{4a\sqrt3}{19}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $E$ là trung điểm của $CD$ (1)

$\Rightarrow CE=AB(=\dfrac{CD}2)$ và có AB//CE, $\widehat B=90^o$

$ABCE$ là hình chữ nhật nên $AE//BC$ (2)

$F$ là giao của AD và BC

Từ (1) và (2) $\Rightarrow AE$ là đường trung bình của $\Delta CDF$

$\Rightarrow A$ là trung điểm của DF

$\dfrac{d(D,(SBC))}{d(A,(SBC))}=\dfrac{DF}{DA}=2$

Ta có:

$\begin{cases}BC\bot AB\text{ (giả thiết cho hình thang ABCD vuông tại B, C)}\\BC\bot SA\text{ (giả thiết cho SA vuông góc với đáy)}\end{cases}$

$\Rightarrow BC\bot(SAB)$

Trong $\Delta SAB$ dựng $AH\bot SB$

$\Rightarrow BC\bot AH$

$\Rightarrow AH\bot(SBC)$

$\Rightarrow d(A,(SBC))=AH$

$\Delta SAB\bot A:\dfrac1{AH^2}=\dfrac1{SA^2}+\dfrac1{AB^2}$

$AB=CE=ED=AD.\cos\widehat{ADC}=\dfrac{a\sqrt3}2$ (do $\Delta ADE\bot E$)

$\Rightarrow\dfrac1{AH^2}=\dfrac1{4a^2}+\dfrac4{3a^2}=\dfrac{19}{12a^2}$

$\Rightarrow AH=\dfrac{2a\sqrt3}{\sqrt{19}}$

$\Rightarrow d(D,(SBC))=\dfrac{4a\sqrt3}{19}$.