Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với điểm A qua B, lấy điểm F sao cho D là trung điểm của AF. 1. Chứng minh tứ giác DBEC là hình bình hành. 2. Chứng minh C là trung điểm của đoạn EF. 3. Chứng minh ba đường thẳng AC, BF, DE đồng quy. 4. Gọi M là giao điểm của CD và BF, N là giao điểm của AM và CF. Chứng minh FN = 2/3 FC.

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

1) Do E là điểm đối xứng với điểm A qua B nên AB=BE=DC và BE//DC

(do ABCD là hình bình hành)

Xét tứ giác DBEC có BE=DC và BE//DC

⇒DBEC là hình bình hành(đpcm)

2) ABCD là hình bình hành ⇒ ∠ABC= ∠ADC(1)

Ta có: ∠ABC+ ∠CBE=180(2)

∠ADC+ ∠FDC=180(3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ ∠CBE= ∠FDC

Do D là trung điểm của AF ⇒DF=BC(=AD)

Xét ΔFDC và ΔCBE có:

FD=CB

∠FDC= ∠CBE

DC=BE

⇒ΔFDC = ΔCBE(c.g.c)

⇒FC=CE( hai cạnh tương ứng)

Xét tứ giác BCFD có

BC=FD(=AD)

BC//FD( do BC//AD)

⇒BCFD là hình bình hành

⇒DB//FC(b)

có: BD//EF(c) do BD là đường trung bình của ΔAEF

lại có: BD//CE(a) do BDCE là hình bình hành

Từ (a), (b), (c) ⇒F, C, E thẳng hàng

Lại có: FC=CE=DB=1/2.EF( do BD là đường trung bình của ΔAEF)

⇒C là trung điểm của EF( đpcm)

3) Xét ΔAEF có B là trung điểm AE, C là trung điểm EF, D là trung điểm AF

⇒AC, BF, DE lần lượt là các đường trung tuyến của ΔAEF

⇒AC, BF, DE đồng quy(đpcm)