Cho hc S.ABCD có đáy ABCD là hv cạnh a SA vuông đáy.Góc giữa SBD và ABCD là 60 độ.Gọi M,N là trung điểm SB,SC.tính thể tích khối S.ADMN

Gọi AC cắt BD tại O.

Ta có $AC \perp BD$, $BD \perp SA$, vậy $BD \perp (SAC)$ và do đó $(SAC) \perp (ABCD)$.

Cũng theo lập luận trên ta có $(SAC) \perp (SBD)$

Vậy góc giữa (SBD) và (ABCD) chính là góc $\widehat{SOA} = 60^{\circ}$

Xét tam giác vuông SAO có $AO = \dfrac{a \sqrt{2}}{2}$ và $\widehat{SOA} = 60^{\circ}$. KHi đó, ta tính đc

$SA = SO . \tan(60) = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$

Vậy

$V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3} . SA . S_{ABCD} = \dfrac{1}{3} . \dfrac{a\sqrt{6}}{2} . a^2 = \dfrac{a^3 \sqrt{6}}{6}$.

Áp dụng công thức tỉ lệ thể tích ta có

$\dfrac{V_{S.ADMN}}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{SM}{SB} . \dfrac{SN}{SC} = \dfrac{1}{2} . \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$

Vậy

$V_{S.ADMN} = \dfrac{1}{4} . \dfrac{a^3 \sqrt{6}}{6} = \dfrac{a^3 \sqrt{6}}{24}$