cho hàm y=2x+1/x+1 có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng y=-2x+m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tám giác OAB có S bằng √3

Đáp án:

\[m =  \pm 2\]

Giải thích các bước giải:

 Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d là:

\(\begin{array}{l}
\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} =  - 2x + m\\
 \Leftrightarrow 2x + 1 = \left( { - 2x + m} \right)\left( {x + 1} \right)\\
 \Leftrightarrow 2x + 1 =  - 2{x^2} - 2x + mx + m\\
 \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {4 - m} \right)x + 1 - m = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)
\end{array}\)

d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. Suy ra:

\(\begin{array}{l}
Δ> 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {4 - m} \right)^2} - 8\left( {1 - m} \right) > 0\\
 \Leftrightarrow 16 - 8m + {m^2} - 8 + 8m > 0\\
 \Leftrightarrow 8 + {m^2} > 0,\,\,\,\forall m
\end{array}\)

Khi đó, phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{m - 4}}{2}\\
{x_1}.{x_2} = \frac{{1 - m}}{2}
\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
A\left( {{x_1};\,\, - 2{x_1} + m} \right);\,\,\,B\left( {{x_2};\,\, - 2{x_2} + m} \right)\\
{d_{\left( {O,AB} \right)}} = {d_{\left( {O,d} \right)}} = \frac{{\left| {2.0 + 0 - m} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| m \right|}}{{\sqrt 5 }}\\
\overrightarrow {AB} \left( {{x_2} - {x_1};\,\, - 2{x_2} + 2{x_1}} \right)\\
 \Rightarrow AB = \sqrt {5{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} \\
{S_{OAB}} = \frac{1}{2}{d_{\left( {O,AB} \right)}}.AB\\
 \Leftrightarrow \sqrt 3  = \frac{1}{2}.\frac{{\left| m \right|}}{{\sqrt 5 }}.\sqrt {5.\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right]} \\
 \Leftrightarrow \sqrt 3  = \frac{{\left| m \right|}}{2}.\sqrt {{{\left( {\frac{{m - 4}}{2}} \right)}^2} - 4.\frac{{1 - m}}{2}} \\
 \Leftrightarrow 2\sqrt 3  = \left| m \right|.\sqrt {\frac{{{m^2} + 8}}{4}} \\
 \Leftrightarrow 4\sqrt 3  = \left| m \right|\sqrt {{m^2} + 8} \\
 \Leftrightarrow 48 = {m^4} + 8{m^2}\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{m^2} = 4\\
{m^2} =  - 12
\end{array} \right. \Rightarrow m =  \pm 2
\end{array}\)