Cho hàm số y=x3−3mx2+4m3 (m là tham số) có đồ thị (C) .Xác định m để (C) có 2 điểm cực trị đối xứng với nhau qua đường thẳng y=x.

Ta có

$y' = 3x^2 - 6mx$

$=3x(x-2m)$

Xét ptrinh $y' = 0$ ta có

$3x(x-2m) = 0$

Để hso có 2 cực trị thì ptrinh trên phải có 2 nghiệm phân biệt. Dễ thấy ptrinh đã có 1 nghiệm là $x = 0$. Vậy nghiệm còn lại phải khác 0, suy ra

$0 - 2m \neq 0$

$\Leftrightarrow m \neq 0$

Khi đó, tọa độ hai điểm cực trị là $A(0, 4m^3)$ và $B(2m, 0)$

Khi đó, trung điểm của chúng là $M(m, 2m^3)$ và $\vec{AB} = (2m, -4m^3)$

Do 2 điểm cực trị đxung vs nhau qua $y = x$ nên trung điểm của chúng phải thuộc đường thẳng này và $\vec{AB} \perp d: x-y = 0$

$m = 2m^3$

$\Leftrightarrow m(2m^2-1) =0$

$\Leftrightarrow m = 0$ hoặc $m = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Mặt khác, ta phải có

$(2m, -4m^3).(1, -1) = 0$

$\Leftrightarrow 2m + 4m^3 = 0$

$\Leftrightarrow 2m(m^2 + 1) = 0$

$\Leftrightarrow m = 0$

Kết hợp vs đk ta thấy ko có giá trị nào của $m$ thỏa mãn.