Cho hàm số y = x/x-1 (C).Tìm M thuộc(C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cùng với 2 tiệm cận tạo thành 1 tam giác vuông cân

Đáp án:

$M(0;0)$ hoặc $M(2;2)$

Giải thích các bước giải:

$\quad y = \dfrac{x}{x-1},\quad D = \Bbb R\backslash\{1\}$

$\Rightarrow y' = -\dfrac{1}{(x-1)^2}$

Đồ thị hàm số nhận $y = 1$ và $x = 1$ làm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng

$\Rightarrow I(1;1)$ là tâm đối xứng của đồ thị

Tịnh tiến đồ thị sao cho $I\equiv O$

Khi đó:

Tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác vuông cân

$\Leftrightarrow$ Tiếp tuyến tạo với hai trục toạ độ một tam giác vuông cân

$\Leftrightarrow |y| = |x|$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}y = x\\y = - x\end{array}\right.$

Ta lại có: $k = -\dfrac{1}{(x-1)^2} < 0\quad \forall x\in D$

Do đó: $y = - x$

hay $k = -1$

$\Leftrightarrow - \dfrac{1}{(x-1)^2} = -1$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 2\Rightarrow y = 2\\x = 0 \Rightarrow y = 0\end{array}\right.$

Vậy $M(0;0)$ hoặc $M(2;2)$