Cho hàm số $y=-x^4+4mx^2-4m$. Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận `H(0;31/4)` làm trực tâm

Đáp án:

$\begin{array}{l}
y =  - {x^4} + 4m{x^2} - 4m\\
 \Rightarrow y' =  - 4{x^3} + 12mx = 0\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} = 3m
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0 \Rightarrow y =  - 4m\\
x =  - \sqrt {3m} ;y = 3{m^2} - 4m\\
x = \sqrt {3m} ;y = 3{m^2} - 4m
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
CT:I\left( {0; - 4m} \right)\\
CD:A\left( {\sqrt {3m} ;3{m^2} - 4m} \right);B\left( { - \sqrt {3m} ;3{m^2} - 4m} \right)
\end{array} \right.
\end{array}$

3 điểm cực trị I,A,B tạo thành tam giác nhận H là trực tâm

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow IH \bot AB\\
Do:dt:AB:y = 3{m^2} - 4m\\
 \Rightarrow IH \bot y = 3{m^2} - 4m\\
I\left( {0; - 4m} \right);H\left( {0;\dfrac{{31}}{4}} \right)\\
 \Rightarrow IH:x = 0
\end{array}$

=> IH vuông góc với đường thẳng AB với mọi m thỏa mãn:

$\left\{ \begin{array}{l}
m > 0\\
3{m^2} - 4m \ne 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 0\\
m \ne 0\\
m \ne \dfrac{4}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 0\\
m \ne \dfrac{4}{3}
\end{array} \right.$