Cho hàm số y=x^4-2mx^2-2m^2+m^4 và điểm D(0;-3) . Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị của hàm số đã cho có ba điểm cực trị A,B,C sao cho tứ giác ABCD là hình thoi, với A ∈ Oy A. m=1 B. m= √3 C. m>0 D, m=1;m= √3

Cho hàm số y=x^4-2mx^2-2m^2+m^4 và điểm D(0;-3) .

Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị của hàm số đã cho có ba điểm cực trị A,B,C sao cho tứ giác ABCD là hình thoi, với A ∈ Oy

A. m=1

B. m= √3

C. m>0

D. m=1;m= √3

Đáp án:

D, $m=1;m=\sqrt3$

Lời giải:

$y=x^4-2mx^2-2m^2+m^4$

$y'=4x^3-4mx=0$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{I}x=0\\x= \sqrt m\\x=-\sqrt m\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{I}y=-2m^2+m^4\\y=m^4-3m^2\\y=m^4-3m^2 \sqrt m\end{array}\right.$

Như vậy ta có 3 điểm cực trị là

$A(0;-2m^2+m^4)$, $(\sqrt m;m^4-3m^2)$, $(-\sqrt m;m^4-3m^2)$

Thử với $m=1$ ta có các điểm sau
$A(0;-1)$; $(1;-2)$; $(-1;-2)$ và $D(0;-3)$ vẽ trên trục tọa độ thì 4 điểm tạo thành hình thoi (thỏa mãn).

Với $m=\sqrt3$ ta có:

$A(0;3)$; $(\pm\sqrt3;0)$; $D(0;-3)$ vẽ trên trục tọa độ thì 4 điểm tạo thành hình thoi (thỏa mãn)

Với $m=4$ ta có:

$A(0;224)$; $(\pm2;208)$; $D(0;-3)$, vẽ trên đồ thị hoặc nhận xét 4 điểm này không có 2 cặp điểm đối xứng nhau qua trục tung và trục hoành (không thỏa mãn).

Vậy chọn D, $m=1;m=\sqrt3$.