cho hàm số y=(x+3)/(x+1) (C) a. Khảo sát và vẽ đồ thị b. CMR d: y=2x+m luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A,B. Tìm m để AB nhỏ nhất

Đáp án + Giải thích các bước giải:

`b.`

Phương trình hoành độ giao điểm: `(x+3)/(x+1)=2x+m `

`<=>``{(g(x)=2x^2+(m+1)x+m-3=0 (2)),(xne-1):}`

Phương trình `(2)<=>` `{(Δ=m^2-6m+25>0AAm),(g(-1)=-2ne0AAm):}`

`=>` `(2)` luôn có 2 nghiệm phân biệt khác `-1`

`=>(C)` và `d` luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt với mọi m

Gọi 2 giao điểm là `A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)`

Theo Viét ta có: `{(x_1+x_2=-(m+1)/2),(x_1.x_2=(m-3)/2):}`

Ta có:

`AB^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2`

`=(x_2-x_1)^2+4(x_2-x_1)^2`

`=5(x_2-x_1)^2`

`=5[(x_1+x_2)^2-4x_1x_2]`

`=5[(m+1)^2/4-2(m-3)]`

`=5/4[(m+1)^2-8(m-3)]`

`=5/4(m^2-6m+25)`

`=5/4[(m-3)^2+16]geq20`

Vậy độ dài `AB` nhỏ nhất là `2sqrt5` khi `m=3`

a,

1. TXĐ $D=\mathbb{R}$ \ $\{-1\}$

2. Sự biến thiên của hàm số 

$\lim\limits_{x\to \pm \infty}y=1$

$\to$ TCN: $y=1$

$\lim\limits_{x\to (-1)^+}y=+\infty$

$\to$ TCĐ: $x=-1$

Xét $y'=\dfrac{-2}{(x+1)^2}$

$y'<0\quad\forall x\in D\to$ hàm số nghịch biến trên $(-\infty;-1)$ và $(-1;+\infty)$ 

Hàm số không có cực trị 

3. Vẽ đồ thị 

Tâm đối xứng $I(-1;1)$

Đồ thị đi qua các điểm: $(0;3)$, $(-3;0)$

b,

ĐK: $x\ne -1$

PTHĐGĐ: $\dfrac{x+3}{x+1}=2x+m$

$\to x+3=(2x+m)(x+1)$

$\to 2x^2+2x+mx+m-x-3=0$

$\to 2x^2+(m+1)x+m-3=0$

$\Delta=(m+1)^2-8(m-3)=m^2+2m+1-8m+24=m^2-6m+25=(m-3)^2+16>0\quad\forall m$

$\to d$ luôn cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt

Theo Viet: $\begin{cases} x_A+x_B=\dfrac{-m-1}{2}\\ x_A x_B=\dfrac{m-3}{2}\end{cases}$

$AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$

$AB^2=(x_A-x_B)^2+(2x_A-2x_B)^2$

$=5(x_A-x_B)^2$

$=5(x_A+x_B)^2-20x_A x_B$

$=5.\dfrac{ (m+1)^2}{ 4}-20.\dfrac{ m-3}{2}$

$= \dfrac{5}{4}(m^2+2m+1) -10m +30$

$=\dfrac{5}{4}m^2 -\dfrac{15}{2}m +\dfrac{125}{4}\ge 20$

Vậy $\min AB=\sqrt{20}$, dấu $=$ xảy ra khi $m=3$