cho hàm số y=$x^{3}$ +a$x^{2}$ +bx+c (b<0,a$\neq$ 0) biết rằng đồ thị đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt trong đó có hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ . Tính giá trị của biểu thức T=2(ab-c)+3

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Ta có được đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt
nên có `y ' = 0` có 2 nghiệm phân biệt
nên có `y '= 3x^ 2 + 2ax + b`
nên có `\Denta = 4a^ 2 -4.3.b = 4a^ 2 - 12 b > 0`
Có 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
nên `x_1 +x_2 = 0` và `y_1 +y_2 =0`
Theo hệ thức Vi-ét ta có `x_1 +x_2 =(-2a) / 3 = 0 -> a= 0`
Có `x_1=-x_2` nên thay vào ta có `y_1+y_2 =x_1^ 3 + ax_1^ 2 + bx_1 +c + (-x_1) ^ 3 +a(x_1) ^ 2 - bx_1 +c =0 + 2ax_1^ 2 + 2c =0`
mà `a=0` nên `c= 0`
Vậy `T =2(0.b-0) +3 =3` 

Ta có được đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt
nên có y'=0y′=0 có 2 nghiệm phân biệt
nên có y'=3x2+2ax+by′=3x2+2ax+b
nên có Denta=4a2−4.3.b=4a2−12b>0Denta=4a2-4.3.b=4a2-12b>0
Có 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
nên x1+x2=0x1+x2=0 và y1+y2=0y1+y2=0
Theo hệ thức Vi-ét ta có x1+x2=−2a3=0→a=0x1+x2=-2a3=0→a=0
Có x1=−x2x1=-x2 nên thay vào ta cóy1+y2=x31+ax21+bx1+c+(−x1)3+a(x1)2−bx1+c=0+2ax21+2c=0y1+y2=x13+ax12+bx1+c+(-x1)3+a(x1)2-bx1+c=0+2ax12+2c=0
mà a=0a=0 nên c=0c=0
Vậy T=2(0.b−0)+3=3T=2(0.b-0)+3=3