cho hàm số y=-$x^{3}$ +3$x^{2}$-4.tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình -$x^{3}$ +3$x^{2}$ -m =0 có 3 nghiệm thực phân biệt

Đáp án:

$0 < m < 4$ 

Giải thích các bước giải:

$y = - x^3 + 3x^2 - 4$

$TXĐ: D= \Bbb R$

$y' = -3x^2 + 6x$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array}\right.$

Bảng biến thiên:

$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & -\infty & & 0 & & &  & & & 2 & & +\infty\\
\hline
y' & & - & 0& &  & + &  & &0& - &\\
\hline
&+\infty&&&&&&&&0\\
y & &\searrow& && &\nearrow && & &\searrow\\
&&&-4&&&&&&&&-\infty\\
\hline
\end{array}$

Ta có:

$-x^3 + 3x^2 - m =0$

$\Leftrightarrow -x^3 + 3x^2 - 4 = m - 4\quad (*)$

$(*)$ là phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị hàm số đã cho và đường thẳng $y = m - 4$

$(*)$ có $3$ nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow y= m - 4$ cắt đồ thị đã cho tại $3$ điểm phân biệt

Dựa vào bảng biến thiên, ta được:

$-4 < m - 4 < 0$

$\Leftrightarrow 0 < m < 4$

Vậy phương trình đã cho có $3$ nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $0 < m < 4$