Cho hàm số y = x^3+3x^2-1 a.khảo sát + vẽ b.Dựa vào ĐTHS biện luận số nghiệm PT : -X^3 – 3X^2 +4 – m =0 c.Viết PT tiếp tuyến với ĐTHS tại điểm có hoành độ X0=1 d.Tìm số Giao Điểm của ĐTHS với (P) y=4x2 – 1

Đáp án:

$\begin{array}{l}
a)y = {x^3} + 3{x^2} - 1\\
 \Rightarrow y' = 3{x^2} + 6x = 0\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x =  - 2
\end{array} \right.
\end{array}$

=> hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ; - 2} \right);\left( {0; + \infty } \right)$

Nghịch biến trên (-2;0)

b)

$\begin{array}{l}
 - {x^3} - 3{x^2} + 4 - m = 0\\
 \Rightarrow {x^3} + 3{x^2} - 1 = 3 - m\left( * \right)
\end{array}$

=> Số nghiệm của pt (*) là số giao điểm của đồ thị trên và đường thẳng y=3-m

+) pt có nghiệm duy nhất khi:

$\left[ \begin{array}{l}
3 - m > 3\\
3 - m <  - 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m < 0\\
m > 4
\end{array} \right.$

+) pt có 2 nghiệm khi:

$\left[ \begin{array}{l}
3 - m = 3\\
3 - m =  - 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = 4
\end{array} \right.$

+) Pt có 3 nghiệm phân biệt khi:

$\begin{array}{l}
 - 1 < 3 - m < 3\\
 \Rightarrow 0 < m < 4
\end{array}$

c)

$\begin{array}{l}
{x_0} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{y_0}' = 3.1 + 6.1 = 9\\
{y_0} = 1 + 3 - 1 = 3
\end{array} \right.\\
PTTT:y = {y_0}'\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\\
 \Rightarrow y' = 9\left( {x - 1} \right) + 3 = 9x - 6
\end{array}$

d)

Xét pt hoành độ giao điểm:

$\begin{array}{l}
{x^3} + 3{x^2} - 1 = 4{x^2} - 1\\
 \Rightarrow {x^3} - {x^2} = 0\\
 \Rightarrow {x^2}\left( {x - 1} \right) = 0\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0 \Rightarrow y = 4{x^2} - 1 =  - 1\\
x = 1 \Rightarrow y = 4{x^2} - 1 = 3
\end{array} \right.
\end{array}$

=> chúng cắt nhau tại 2 điểm phân biệt là: (0;-1); (1;3)