Cho hàm số y=x^3 - 3x^2 -1. A, khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số B, dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình x^3 - 3x^2 - 1= 1 C, biện luận số nghiệm của phương trình x^3 - 3x^2 = m (m là tham số) D, viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại M(1;-3)

$y=x^3-3x^2-1$ a) TXĐ: $D=\mathbb R$ $y'=3x^2-6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=2 \end{array} \right .$ Xét dấu $y'$: $0$ $2$ $+$ $-$ $+$ Hàm số đồng biến trên khoảng $(2;+\infty)$ và $(-\infty;0)$ Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$ Hàm số đạt cực đại tại $x=0\Rightarrow y=-1$ Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2\Rightarrow y=-5$ Bảng biến thiên như hình vẽ. $y''=6x-6=0\Rightarrow x=1\Rightarrow y=-3\Rightarrow $ điểm uốn $A=(1;-3)$ Với $x=3\Rightarrow y=-1$ Với $x=-1\Rightarrow y=-5$ Đồ thị hàm số như hình vẽ. b) $y=x^3-3x^2-1=1$ Phương trình có một nghiệm. c) Với $m<-5$ và $m>-1$ phương trình có 1 nghiệm Với $m=5$ và $m=-1$ phương trình có hai nghiệm Với $-5< m<-1$ phương trình có 3 nghiệm d) $y'(1)=3.1^2-6.1=-3$ Phương trình tiếp tuyến tại $M(1;-3)$ là: $y-(-3)=(-3)(x-1)\Leftrightarrow y=-3x$.