Cho hàm số y=x^3 -3mx^2 +3(2m-1) có đồ thị (Cm). 1.Chứng minh khi m thay đổi , đồ thị (Cm) luôn đi qua 2 điểm cố định

Đáp án:

$(C_m)$ luôn đi qua $M_1(\sqrt2;2\sqrt2 -3)$ và $M_2(-\sqrt2;-2\sqrt2 -3)$

Giải thích các bước giải:

Gọi $M(x_o;y_o)$ là điểm cố định thuộc $(C_m)$

Khi đó:

$\quad y_o = x_o^3 - 3mx_o^2 + 3(2m-1)\quad (\forall x\in\Bbb R)$

$\Leftrightarrow 3m(2-x_o^2) + x_o^3 - y_o - 3 = 0$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x_o^2 - 2 = 0\\x_o^3 - y_o - 3 = 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}x_o = \sqrt2\\y_o = 2\sqrt2 - 3\end{cases}\\\begin{cases}x_o = -\sqrt2\\y_o = -2\sqrt2 - 3\end{cases}\end{array}\right.$

Vậy $(C_m)$ luôn đi qua hai điểm $M_1(\sqrt2;2\sqrt2 -3)$ và $M_2(-\sqrt2;-2\sqrt2 -3)$