Cho hàm số y = (x^3 / 3) + mx^2 - mx + 1. Tìm m để hàm số: a) đồng biến trên [2 ; +∞) b) nghịch biến trên (-∞ ; 1) c) đồng biến trên R d) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1

Đáp án: `a)` `-4/3 ≤ m`;                     `b)\ m ∈ ∅`

              `c)` `-1 ≤ m ≤ 0`;                    `d)\ m = (-1±sqrt2)/(2)`

Giải thích các bước giải:

$\text{ a) TXĐ: D = R }$

`y^'  =(1/3x^3+mx^2-mx+1)^' = x^2 + 2mx - m`

$\text{Để hàm số đồng biến trên [2 ; +∞)}$

`=> x^2 + 2mx - m ≥ 0` với x ∈ `[2 ; +∞)`

`<=> x^2 ≥ m - 2mx `

`<=> x^2 ≥ m.(1-2x) `

$\text{Do 1-2x < 0 với mọi x ∈ [2 ; +∞);}$ `=> (x^2)/(1-2x) ≤ m`

$\text{Ta xét}$ `(x^2)/(1-2x)`: `Xét\ đạo\ hàm:` `((x^2)/(1-2x))^' = (-2x^2+2x)/(1-2x)^2`

$\text{Ta thấy}$ `x # 1/2;\ cho` `y^' = 0; => x = 0; x= 1`

$\text{Xét sự biến thiên ta thấy: (ở hình dưới) }$

$\text{Theo BBT; trên [2 ; +∞); ta thấy max của}$ `(x^2)/(1-2x)\ là\ -4/3`

`Do` `(x^2)/(1-2x) ≤ m;` `=>\ Max` `(x^2)/(1-2x) ≤ m; => -4/3 ≤ m`

--------------------------------------------------------------------------------------------------

$\text{b) Theo câu a:}$ `y^'  =x^2 + 2mx - m`

`=> Δ^' = m^2  + m`

`TH1:` `Δ^' ≤ 0; <=> m^2  + m ≤ 0;   <=>  -1 ≤ m ≤ 0`

$\text{Do hệ số}$ `a = 1 > 0; =>` $\text{Hàm số luôn đồng biến với}$ `Δ^' ≤ 0 (-1 ≤ m ≤ 0)`

$\text{Vậy không có giá trị nào của m để hàm số nghịch biến trên (-∞ ; 1)}$

$\text{TH2:}$  `Δ^' > 0; => m < -1\ hoặc\ m > 0`

$\text{=> PT có 2 nghiệm trái dấu theo bảng (ở hình dưới)}$

$\text{=> Hàm số nghịch biến trên khoảng}$ `(x_1; x_2)` $\text{nào đó}$

$\text{=> Vậy nên hàm số không thể nghịch biến trên (-∞ ; 1)}$

$\text{=> không có giá trị của m thỏa mãn}$

$\text{Vậy m ∈ ∅}$

--------------------------------------------------------------------------------------------------

`c)\ Theo\ câu\ b\ Δ^'\ của\ y^'\ là\ m^2  + m`

$\text{Để hàm số đồng biến trên R;}$ `=> Δ^' ≤ 0\ và\ hệ\ số\ a\ > 0`

`<=> m^2  + m ≤ 0 và 1 > 0\ (TM)`

`=> -1 ≤ m ≤ 0`

--------------------------------------------------------------------------------------------------

$\text{d) Theo câu b hàm số nghịch biến trên khoảng}$ `(x_1; x_2)`

$\text{nào đó khi m < -1 hoặc m > 0}$

$\text{Để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1}$

`=> |x_1-x_2| = 1`

`<=> |(-b+sqrtΔ)/(2a)-(-b-sqrtΔ)/(2a)| = 1;   <=> |(-b+sqrtΔ+b+sqrtΔ)/(2a)| = 1; `

`<=> |(2sqrtΔ)/(2a)| = 1;  <=> |(sqrtΔ)/(a)| = 1; => <=> ((sqrtΔ)/(a))^2 = 1^2; `

`<=> (Δ)/(a)^2 = 1;  <=> (4.Δ^')/(1)^2 = 1; <=> 4Δ^' = 1; <=> 4.(m^2  + m) = 1`

`<=> 4m^2 + m - 1 = 0; => m = (-1±sqrt2)/(2)\ (TM ĐK)`