cho hàm số y=x^3-3(m+1)x^2+9x-m. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1,x2 sao cho |x1-x2|<=2

Đáp án:

$\begin{array}{l}
y = {x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 9x - m\\
 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6\left( {m + 1} \right)x + 9 = 0\\
 \Rightarrow {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3 = 0\left( * \right)\\
 \Rightarrow \Delta ' > 0\\
 \Rightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - 3 > 0\\
 \Rightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} > 3\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > \sqrt 3  - 1\\
m <  - \sqrt 3  - 1
\end{array} \right.\\
TheoViet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = m + 1\\
{x_1}{x_2} = 3
\end{array} \right.\\
\left| {{x_1} - {x_2}} \right| \le 2\\
 \Rightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} \le 4\\
 \Rightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} \le 4\\
 \Rightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - 4.3 \le 4\\
 \Rightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} \le 16\\
 \Rightarrow  - 5 \le m \le 3\\
Vay\,m \in \left[ { - 5; - \sqrt 3  - 1} \right) \cup \left( {\sqrt 3  - 1;3} \right]
\end{array}$