cho hàm số y= -X^3 +(2m - 1)X^2 - (m - 1)X +2019 . Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng (-2019 ;2019) để hàm số nghịch biến trên khoảng (2; dương vô cực) . giúp mình vs mọi người

Đáp án:

2021

Giải thích các bước giải:

\(y =  - {x^3} + \left( {2m - 1} \right){x^2} - \left( {m - 1} \right)x + 2019\)

TXĐ: D = R.

Ta có \(y' =  - 3{x^2} + 2\left( {2m - 1} \right)x - m + 1\)

Để hàm số nghịch biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\) thì \(y' < 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow  - 3{x^2} + 2\left( {2m - 1} \right)x - m + 1 < 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow  - 3{x^2} + 4mx - x - m + 1 < 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow  - 3{x^2} - x + 1 + m\left( {4x - 1} \right) < 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m\left( {4x - 1} \right) < 3{x^2} + x - 1\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m < \dfrac{{3{x^2} + x - 1}}{{4x - 1}}\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} g\left( x \right) = \dfrac{{3{x^2} + x - 1}}{{4x - 1}}\end{array}\)

(Do \(x > 2 \Rightarrow 4x > 8 \Rightarrow 4x - 1 > 7 > 0\)).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{{3{x^2} + x - 1}}{{4x - 1}}\) trên \(\left( {2; + \infty } \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {6x + 1} \right)\left( {4x - 1} \right) - 4\left( {3{x^2} + x - 1} \right)}}{{{{\left( {4x - 1} \right)}^2}}}\\g'\left( x \right) = \dfrac{{24{x^2} - 2x - 1 - 12{x^2} - 4x + 4}}{{{{\left( {4x - 1} \right)}^2}}}\\g'\left( x \right) = \dfrac{{12{x^2} - 6x + 3}}{{{{\left( {4x - 1} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} g\left( x \right) = g\left( 2 \right) = \dfrac{{13}}{7}\).

\( \Rightarrow m \le \dfrac{{13}}{7}\).

Kết hợp điều kiện \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in Z\\m \in \left( { - 2019;\dfrac{{13}}{7}} \right)\end{array} \right.\).

Vậy có 2021 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.