Cho hàm số y=x^3 + (1-2m)x^2 + (2-m)x + m + 2. Tìm m để phương trình đường cực trị vuông góc với đường thẳng y=3x - 7

Đáp án:

$m = \dfrac{1 \pm \sqrt{105}}{8}$

Giải thích các bước giải:

$y = x^3 + (1 - 2m)x^2 + (2 -m)x + m + 2$ $(C)$

$TXD: D = \Bbb R$

$y' = 3x^2 + 2(1 - 2m)x + (2-m)$

Thực hiện phép chia đa thức $y$ cho $y'$ ta được:

$y = y'.\left(\dfrac{1}{3}x + \dfrac{1 - 2m}{9}\right) -\left(\dfrac{8}{9}m^2 -\dfrac{2}{9}m -\dfrac{10}{9}\right)x + m + 2 - \dfrac{1}{9}(1 - 2m)(2 - m)$

$\Rightarrow (d): y = -\left(\dfrac{8}{9}m^2 -\dfrac{2}{9}m -\dfrac{10}{9}\right)x + m + 2 - \dfrac{1}{9}(1 - 2m)(2 - m)$ là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

$(d)\perp (d'): y = 3x - 7 \Leftrightarrow a.a' = -1$

$\Leftrightarrow -\left(\dfrac{8}{9}m^2 -\dfrac{2}{9}m -\dfrac{10}{9}\right).3 = -1$

$\Leftrightarrow 8m^2 - 2m - 10 = 3$

$\Leftrightarrow 8m^2 - 2m - 13 = 0$

$\Leftrightarrow m = \dfrac{1 \pm \sqrt{105}}{8}$