cho hàm số y=$\frac{x+2m}{x-m}$.Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên khoảng (1,+∞)

Đáp án:

\[m < 0\]

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

\(\begin{array}{l}
y = \dfrac{{x + 2m}}{{x - m}}\\
 \Rightarrow y' = \dfrac{{\left( {x + 2m} \right)'.\left( {x - m} \right) - \left( {x - m} \right)'.\left( {x + 2m} \right)}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\\
 = \dfrac{{1.\left( {x - m} \right) - 1.\left( {x + 2m} \right)}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\\
 = \dfrac{{ - 3m}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}
\end{array}\)

Hàm số luôn đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x - m \ne 0,\,\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\\
y' > 0,\,\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne m\\
\dfrac{{ - 3m}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} > 0
\end{array} \right.,\,\,\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le 1\\
 - 3m > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le 1\\
m < 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow m < 0
\end{array}\)

Vậy \(m < 0\)

Đáp án:

 `m<0`

Giải thích các bước giải:

TXĐ: `D=R ` \ `{m}`

Ta có: `y'=(-3m)/(x-m)^2`

Hàm số đồng biến biến trên `(1;+infty)`

      `⇔`$\begin{cases}y'>0,∀x∈(1;+\infty) \\m∉(1;+\infty)\end{cases}$

      `⇔`$\begin{cases}-3m>0\\m\leq1\end{cases}$

      `⇔`$\begin{cases}m<0 \\m\leq1\end{cases}$

      `⇔m<0`

Kết luận: `m<0` thỏa mãn yêu cầu bài toán