Cho hàm số `y=\frac{x^2+m(x+1)}{x+2}` có hai điểm cực trị x_1 x_2 thỏa mãn `x_1^2+x_2^2=-6(1/x_1+1/x_2)` Giúp em với anh chị 60đ

Đáp án:

 `m=2`

Giải thích các bước giải:

`D=R` \ `{-2}`

Ta có: `y'=\frac{x^2+4x+m}{(x+2)^2}=\frac{g(x)}{(x+2)^2}`

Để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ `x_1,x_2`

thì phương trình `g(x)` có hai nghiệm phân biệt khác `-2` khi đó

$\begin{cases} Δ=4-m>0\\g(-2)=(-2)^2+4.(-2)+m\neq0\end{cases}$ `⇔ m<4` $(*)$

Theo định lý Viet, ta có: $\begin{cases} x_1+x_2=12\\x_1x_2=m\end{cases}$ 

Theo đề bài: `x_1^2+x_2^2=-6(1/x_1+1/x_2)`

`⇔ (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=-6.\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}`

`⇔` `16-2m=24/m` `(m\ne0)`

`⇔ m^2-8m+12=0`

`⇔` \(\left[ \begin{array}{l}m=2&\text{(thỏa mãn)} \\m=6&\text{(không thỏa (*))}\end{array} \right.\) 

`⇔` `m=2`

Vậy `m=2` thỏa yêu cầu bài toán.