Cho hàm số y=x+1/x-2 có đồ thị (c), tìm tất cả các điểm trên (c) sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đén 2 đường tiệm cận là nhỏ nhất Huhu giúp mình với

Đáp án:

\[\left[ \begin{array}{l}
M\left( {2 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right)\\
M\left( {2 - \sqrt 3 ;1 - \sqrt 3 } \right)
\end{array} \right.\]

Giải thích các bước giải:

 Gọi \(M\left( {a;\frac{{a + 1}}{{a - 2}}} \right)\), với a khác 2 thuộc đồ thị (C) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) nhận đường thẳng \(x = 2\) là tiệm cận đứng và \(y = 1\) là tiệm cận ngang

Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là \(\left| {a - 2} \right|\), đến tiệm cận ngang là \(\left| {\frac{{a + 1}}{{a - 2}} - 1} \right|\)

Tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận là:

\[\begin{array}{l}
d = \left| {a - 2} \right| + \left| {\frac{{a + 1}}{{a - 2}} - 1} \right|\\
 = \left| {a - 2} \right| + \left| {\frac{{a + 1 - a + 2}}{{a - 2}}} \right|\\
 = \left| {a - 2} \right| + \frac{3}{{\left| {a - 2} \right|}} \ge 2\sqrt {\left| {a - 2} \right|.\frac{3}{{\left| {a - 2} \right|}}}  = 2\sqrt 3 
\end{array}\]

Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi 

\[\left| {a - 2} \right| = \frac{3}{{\left| {a - 2} \right|}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a - 2 = \sqrt 3 \\
a - 2 =  - \sqrt 3 
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
M\left( {2 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right)\\
M\left( {2 - \sqrt 3 ;1 - \sqrt 3 } \right)
\end{array} \right.\]